1
Aljabar
A. Konsep Dasar
Aljabar mempelajari hubungan antarvariabel, manipulasi ekspresi, dan penyelesaian persamaan/pertidaksamaan. Fokus olimpiade biasanya pada:
- Manipulasi aljabar (pemfaktoran, perluasan, substitusi)
- Sistem persamaan linear dan nonlinear
- Identitas dan ketaksamaan aljabar
- Hubungan koefisien dan akar
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Identitas dasar:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
2. Sifat akar-akar persamaan kuadrat:
Jika $x_1, x_2$ akar $ax^2+bx+c=0$, maka:
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$
Jika $x_1, x_2$ akar $ax^2+bx+c=0$, maka:
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$
3. Ketaksamaan penting:
AM-GM: $\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$ untuk $x_i>0$
Cauchy-Schwarz: $(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2) \ge (a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2$
AM-GM: $\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$ untuk $x_i>0$
Cauchy-Schwarz: $(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2) \ge (a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2$
C. Strategi
- Ubah persamaan menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan substitusi atau pemfaktoran.
- Manfaatkan simetri untuk mengurangi variabel.
- Gunakan ketaksamaan untuk mencari nilai ekstrem.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Manipulasi Aljabar
Diketahui $x+\frac{1}{x}=3$. Tentukan nilai $x^3+\frac{1}{x^3}$.
Pembahasan:
Gunakan identitas: $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$.
Dengan $a=x$, $b=\frac{1}{x}$, maka $ab=1$, sehingga
$x^3+\frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})^3 - 3(x+\frac{1}{x}) = 3^3 - 3(3) = 27-9=18$.
Gunakan identitas: $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$.
Dengan $a=x$, $b=\frac{1}{x}$, maka $ab=1$, sehingga
$x^3+\frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})^3 - 3(x+\frac{1}{x}) = 3^3 - 3(3) = 27-9=18$.
Contoh 2 Ketaksamaan
Jika $a,b,c$ bilangan real positif dengan $a+b+c=1$, buktikan bahwa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 9$.
Pembahasan:
Dengan AM-HM: $\frac{a+b+c}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$.
Karena $a+b+c=1$, maka $\frac{1}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$, sehingga
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 9$. Terbukti. β
Dengan AM-HM: $\frac{a+b+c}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$.
Karena $a+b+c=1$, maka $\frac{1}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$, sehingga
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 9$. Terbukti. β
2
Fungsi
A. Konsep Dasar
Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota domain tepat satu ke kodomain. Pada olimpiade, sering diuji:
- Komposisi fungsi dan invers
- Fungsi ganjil/genap
- Fungsi periodik
- Persamaan fungsional sederhana
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Komposisi fungsi: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
2. Invers fungsi: $f(f^{-1}(x))=x$ dan $f^{-1}(f(x))=x$
3. Fungsi genap: $f(-x)=f(x)$; ganjil: $f(-x)=-f(x)$
4. Sifat komposisi: Umumnya $f\circ g \neq g\circ f$
2. Invers fungsi: $f(f^{-1}(x))=x$ dan $f^{-1}(f(x))=x$
3. Fungsi genap: $f(-x)=f(x)$; ganjil: $f(-x)=-f(x)$
4. Sifat komposisi: Umumnya $f\circ g \neq g\circ f$
C. Strategi
- Untuk mencari fungsi dari komposisi, lakukan substitusi variabel.
- Gunakan sifat simetri atau substitusi khusus pada persamaan fungsional.
- Cek apakah fungsi memiliki invers dengan uji horizontal line test.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Komposisi Fungsi
Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $(f\circ g)(x)=4x^2+6x+1$. Tentukan $g(x)$.
Pembahasan:
$(f\circ g)(x)=f(g(x))=2g(x)-1=4x^2+6x+1$.
Maka $2g(x)=4x^2+6x+2$ sehingga $g(x)=2x^2+3x+1$.
$(f\circ g)(x)=f(g(x))=2g(x)-1=4x^2+6x+1$.
Maka $2g(x)=4x^2+6x+2$ sehingga $g(x)=2x^2+3x+1$.
Contoh 2 Persamaan Fungsional
Jika $f$ memenuhi $f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$ untuk semua $x\neq 0$, tentukan $f(x)$.
Pembahasan:
Substitusi $x\to \frac{1}{x}$: $f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{1}{x}$.
Sistem:
(1) $f(x)+2f(1/x)=x$
(2) $2f(x)+f(1/x)=1/x$
Kalikan (1) dengan 2: $2f(x)+4f(1/x)=2x$. Kurangi (2): $3f(1/x)=2x-\frac{1}{x}$ sehingga $f(1/x)=\frac{2x}{3}-\frac{1}{3x}$.
Substitusi ke (1): $f(x)=x-2(\frac{2x}{3}-\frac{1}{3x})=x-\frac{4x}{3}+\frac{2}{3x}=-\frac{x}{3}+\frac{2}{3x}$.
Jadi $f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}$. β
Substitusi $x\to \frac{1}{x}$: $f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{1}{x}$.
Sistem:
(1) $f(x)+2f(1/x)=x$
(2) $2f(x)+f(1/x)=1/x$
Kalikan (1) dengan 2: $2f(x)+4f(1/x)=2x$. Kurangi (2): $3f(1/x)=2x-\frac{1}{x}$ sehingga $f(1/x)=\frac{2x}{3}-\frac{1}{3x}$.
Substitusi ke (1): $f(x)=x-2(\frac{2x}{3}-\frac{1}{3x})=x-\frac{4x}{3}+\frac{2}{3x}=-\frac{x}{3}+\frac{2}{3x}$.
Jadi $f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}$. β
3
Persamaan dan Pertidaksamaan
A. Konsep Dasar
Meliputi penyelesaian persamaan linear, kuadrat, polinomial, rasional, irasional, nilai mutlak, serta pertidaksamaan. Pada olimpiade, sering diperlukan analisis interval dan syarat.
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Persamaan kuadrat: $ax^2+bx+c=0$ memiliki akar $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. Sifat diskriminan: $D=b^2-4ac$
β’ $D>0$: dua akar real berbeda
β’ $D=0$: akar kembar
β’ $D<0$: tidak ada akar real
3. Pertidaksamaan rasional: tentukan titik nol dan titik singular, lalu uji interval.
4. Nilai mutlak: $|x| = x$ jika $x\ge 0$, dan $-x$ jika $x<0$.
2. Sifat diskriminan: $D=b^2-4ac$
β’ $D>0$: dua akar real berbeda
β’ $D=0$: akar kembar
β’ $D<0$: tidak ada akar real
3. Pertidaksamaan rasional: tentukan titik nol dan titik singular, lalu uji interval.
4. Nilai mutlak: $|x| = x$ jika $x\ge 0$, dan $-x$ jika $x<0$.
C. Strategi
- Pisahkan pertidaksamaan menjadi beberapa kasus berdasarkan tanda.
- Gunakan sifat $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$ dan $|x| > a \Leftrightarrow x<-a$ atau $x>a$.
- Untuk pertidaksamaan irasional, pastikan syarat di dalam akar nonnegatif.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Nilai Mutlak
Selesaikan $|x-2|+|x+3|=7$.
Pembahasan:
Bagi menjadi tiga interval:
β’ $x<-3$: $-(x-2)-(x+3)=7 \Rightarrow -2x-1=7 \Rightarrow x=-4$ (memenuhi)
β’ $-3\le x<2$: $-(x-2)+(x+3)=7 \Rightarrow 5=7$ (tidak ada solusi)
β’ $x\ge 2$: $(x-2)+(x+3)=7 \Rightarrow 2x+1=7 \Rightarrow x=3$ (memenuhi)
Solusi: $x=-4$ atau $x=3$.
Bagi menjadi tiga interval:
β’ $x<-3$: $-(x-2)-(x+3)=7 \Rightarrow -2x-1=7 \Rightarrow x=-4$ (memenuhi)
β’ $-3\le x<2$: $-(x-2)+(x+3)=7 \Rightarrow 5=7$ (tidak ada solusi)
β’ $x\ge 2$: $(x-2)+(x+3)=7 \Rightarrow 2x+1=7 \Rightarrow x=3$ (memenuhi)
Solusi: $x=-4$ atau $x=3$.
Contoh 2 Pertidaksamaan Rasional
Tentukan interval solusi dari $\frac{x^2-5x+6}{x-1} \le 0$.
Pembahasan:
Faktorkan: $\frac{(x-2)(x-3)}{x-1} \le 0$.
Titik kritis: $x=1,2,3$.
Uji interval:
β’ $x<1$: ambil $x=0$ β (+)/(β)=β β€ 0 (memenuhi)
β’ $1
β’ $2
β’ $x>3$: ambil $x=4$ β (+)(+)/(+)=+ (tidak)
Periksa titik: $x=2,3$ menyebabkan pembilang nol β termasuk. $x=1$ tidak.
Solusi: $x<1$ atau $2\le x \le 3$.
Faktorkan: $\frac{(x-2)(x-3)}{x-1} \le 0$.
Titik kritis: $x=1,2,3$.
Uji interval:
β’ $x<1$: ambil $x=0$ β (+)/(β)=β β€ 0 (memenuhi)
β’ $1
Periksa titik: $x=2,3$ menyebabkan pembilang nol β termasuk. $x=1$ tidak.
Solusi: $x<1$ atau $2\le x \le 3$.
4
Polinom
A. Konsep Dasar
Polinom adalah ekspresi $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$. Teori polinom mencakup:
- Pembagian polinom, teorema sisa, teorema faktor
- Akar-akar polinom dan hubungan koefisien
- Sifat akar rasional
- Polinom simetris
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Teorema sisa: Jika $P(x)$ dibagi $(x-a)$, sisanya $P(a)$.
2. Teorema faktor: $(x-a)$ faktor dari $P(x)$ jika dan hanya jika $P(a)=0$.
3. Hubungan akar-akar: Untuk $ax^3+bx^2+cx+d=0$ dengan akar $\alpha,\beta,\gamma$:
$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$.
4. Sifat akar rasional: Jika $p/q$ akar rasional dalam bentuk paling sederhana, maka $p$ membagi konstanta dan $q$ membagi koefisien utama.
2. Teorema faktor: $(x-a)$ faktor dari $P(x)$ jika dan hanya jika $P(a)=0$.
3. Hubungan akar-akar: Untuk $ax^3+bx^2+cx+d=0$ dengan akar $\alpha,\beta,\gamma$:
$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$.
4. Sifat akar rasional: Jika $p/q$ akar rasional dalam bentuk paling sederhana, maka $p$ membagi konstanta dan $q$ membagi koefisien utama.
C. Strategi
- Gunakan teorema sisa untuk mencari sisa pembagian tanpa melakukan pembagian penuh.
- Faktorkan polinom dengan mencari akar-akar rasional.
- Manfaatkan hubungan simetri akar untuk mencari nilai ekspresi tanpa mencari akar satu per satu.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Teorema Sisa
Suku banyak $P(x)$ dibagi $(x-1)$ bersisa 3 dan dibagi $(x-2)$ bersisa 5. Tentukan sisa pembagian $P(x)$ oleh $x^2-3x+2$.
Pembahasan:
Karena $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, sisa berupa $ax+b$.
Diketahui $P(1)=a+b=3$ dan $P(2)=2a+b=5$.
Kurangkan: $a=2$, lalu $b=1$. Sisa = $2x+1$.
Karena $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, sisa berupa $ax+b$.
Diketahui $P(1)=a+b=3$ dan $P(2)=2a+b=5$.
Kurangkan: $a=2$, lalu $b=1$. Sisa = $2x+1$.
Contoh 2 Hubungan Akar
Diketahui $\alpha,\beta,\gamma$ akar $x^3-6x^2+11x-6=0$. Tentukan $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$.
Pembahasan:
$\alpha+\beta+\gamma=6$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=11$.
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=36-22=14$.
$\alpha+\beta+\gamma=6$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=11$.
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=36-22=14$.
5
Barisan dan Deret
A. Konsep Dasar
- Barisan aritmetika: selisih tetap ($b$).
- Barisan geometri: rasio tetap ($r$).
- Deret aritmetika/geometri, deret tak hingga.
- Barisan rekursif dan pola khusus.
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Aritmetika:
$U_n = a + (n-1)b$
$S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) = \frac{n}{2}(a+U_n)$
2. Geometri:
$U_n = ar^{n-1}$
$S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ untuk $r\neq 1$
Deret tak hingga: $S_\infty = \frac{a}{1-r}$ jika $|r|<1$
3. Barisan rekursif: sering diminta mencari suku ke-$n$ atau pola.
$U_n = a + (n-1)b$
$S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) = \frac{n}{2}(a+U_n)$
2. Geometri:
$U_n = ar^{n-1}$
$S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ untuk $r\neq 1$
Deret tak hingga: $S_\infty = \frac{a}{1-r}$ jika $|r|<1$
3. Barisan rekursif: sering diminta mencari suku ke-$n$ atau pola.
C. Strategi
- Identifikasi jenis barisan dari informasi yang diberikan.
- Gunakan sifat suku tengah pada barisan aritmetika/geometri.
- Untuk barisan rekursif, cari pola atau gunakan persamaan karakteristik jika linear.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Deret Aritmetika
Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah $S_n=3n^2+5n$. Tentukan suku ke-10.
Pembahasan:
$U_{10}=S_{10}-S_9 = (3(100)+50)-(3(81)+45)=350-288=62$.
$U_{10}=S_{10}-S_9 = (3(100)+50)-(3(81)+45)=350-288=62$.
Contoh 2 Barisan Geometri
Tiga bilangan membentuk barisan geometri dengan jumlah 13 dan hasil kali 27. Tentukan suku tengah.
Pembahasan:
Misal suku-suku $\frac{a}{r}, a, ar$. Hasil kali $a^3=27\Rightarrow a=3$.
Suku tengah = 3.
Misal suku-suku $\frac{a}{r}, a, ar$. Hasil kali $a^3=27\Rightarrow a=3$.
Suku tengah = 3.
6
Eksponen dan Logaritma
A. Konsep Dasar
- Sifat eksponen dan logaritma.
- Persamaan eksponen/logaritma.
- Penerapan pada pertumbuhan/peluruhan.
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Eksponen:
$a^m a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$.
2. Logaritma:
$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c=b$
$\log_a (bc)=\log_a b+\log_a c$
$\log_a \frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$
$\log_a b^n = n\log_a b$
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
$a^m a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$.
2. Logaritma:
$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c=b$
$\log_a (bc)=\log_a b+\log_a c$
$\log_a \frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$
$\log_a b^n = n\log_a b$
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
C. Strategi
- Samakan basis untuk menyelesaikan persamaan eksponen.
- Gunakan sifat logaritma untuk menyederhanakan.
- Perhatikan domain: basis $>0$, basis $\neq 1$, numerus $>0$.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Persamaan Eksponen
Tentukan $x$ yang memenuhi $2^{2x-3}=8^{x+1}$.
Pembahasan:
$2^{2x-3}=2^{3(x+1)}=2^{3x+3}$
Maka $2x-3=3x+3 \Rightarrow x=-6$.
$2^{2x-3}=2^{3(x+1)}=2^{3x+3}$
Maka $2x-3=3x+3 \Rightarrow x=-6$.
Contoh 2 Sifat Logaritma
Jika $\log 2=a$ dan $\log 3=b$, nyatakan $\log 12$ dalam $a,b$.
Pembahasan:
$\log 12 = \log(4\cdot 3)=2\log 2+\log 3=2a+b$.
$\log 12 = \log(4\cdot 3)=2\log 2+\log 3=2a+b$.
7
Trigonometri
A. Konsep Dasar
- Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.
- Identitas trigonometri.
- Aturan sinus, cosinus.
- Persamaan trigonometri.
- Grafik fungsi trigonometri.
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Identitas dasar:
$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
$1+\tan^2 x=\sec^2 x$
$1+\cot^2 x=\csc^2 x$
2. Jumlah/selisih sudut:
$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$
$\tan(A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$
3. Aturan sinus: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
Aturan cosinus: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
$1+\tan^2 x=\sec^2 x$
$1+\cot^2 x=\csc^2 x$
2. Jumlah/selisih sudut:
$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$
$\tan(A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$
3. Aturan sinus: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
Aturan cosinus: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
C. Strategi
- Gunakan identitas untuk menyederhanakan ekspresi.
- Ubah ke bentuk sinus/cosinus untuk menyelesaikan persamaan.
- Perhatikan batas interval.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Identitas Trigonometri
Jika $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}$, tentukan $\sin 2x$.
Pembahasan:
Kuadratkan: $\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=\frac{1}{4}$
$1+\sin 2x=\frac{1}{4}\Rightarrow \sin 2x=-\frac{3}{4}$.
Kuadratkan: $\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=\frac{1}{4}$
$1+\sin 2x=\frac{1}{4}\Rightarrow \sin 2x=-\frac{3}{4}$.
Contoh 2 Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC, $AB=5$, $AC=7$, sudut $A=60Β°$. Tentukan panjang $BC$.
Pembahasan:
$BC^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos 60^\circ = 25+49-70\cdot\frac12=74-35=39$
$BC=\sqrt{39}$.
$BC^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos 60^\circ = 25+49-70\cdot\frac12=74-35=39$
$BC=\sqrt{39}$.
8
Geometri
A. Konsep Dasar
- Sifat segitiga, lingkaran, segiempat.
- Kesebangunan dan kekongruenan.
- Teorema Pythagoras, Stewart, garis berat, garis bagi.
- Lingkaran: sudut pusat, sudut keliling, garis singgung.
- Geometri ruang.
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Teorema Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$.
2. Luas segitiga: $\frac12 ab\sin C$, $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ (Heron).
3. Teorema Stewart: $d^2 = \frac{m b^2 + n c^2}{a} - mn$ (untuk cevian).
4. Sudut keliling = setengah sudut pusat yang menghadap busur sama.
5. Garis singgung lingkaran tegak lurus jari-jari di titik singgung.
2. Luas segitiga: $\frac12 ab\sin C$, $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ (Heron).
3. Teorema Stewart: $d^2 = \frac{m b^2 + n c^2}{a} - mn$ (untuk cevian).
4. Sudut keliling = setengah sudut pusat yang menghadap busur sama.
5. Garis singgung lingkaran tegak lurus jari-jari di titik singgung.
C. Strategi
- Gambar sketsa untuk memahami masalah.
- Cari segitiga sebangun atau gunakan teorema.
- Manfaatkan simetri dan sifat khusus bangun.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Lingkaran Dalam Segitiga
Pada segitiga siku-siku, panjang sisi miring 10 cm dan jari-jari lingkaran dalam 2 cm. Tentukan luas segitiga.
Pembahasan:
Untuk segitiga siku-siku, $r = \frac{a+b-c}{2}$. Dengan $c=10$, $r=2$:
$2=\frac{a+b-10}{2}\Rightarrow a+b=14$.
Kuadratkan: $a^2+2ab+b^2=196$. Karena $a^2+b^2=100$, maka $2ab=96\Rightarrow ab=48$.
Luas $=\frac12 ab=24$ cmΒ².
Untuk segitiga siku-siku, $r = \frac{a+b-c}{2}$. Dengan $c=10$, $r=2$:
$2=\frac{a+b-10}{2}\Rightarrow a+b=14$.
Kuadratkan: $a^2+2ab+b^2=196$. Karena $a^2+b^2=100$, maka $2ab=96\Rightarrow ab=48$.
Luas $=\frac12 ab=24$ cmΒ².
Contoh 2 Segitiga Sama Sisi
Pada segitiga sama sisi dengan sisi 6 cm, titik $P$ di dalam. Jarak $P$ ke ketiga sisinya adalah $x,y,z$. Tentukan $x+y+z$.
Pembahasan:
Jumlah jarak titik dalam segitiga sama sisi ke sisi-sisinya sama dengan tinggi segitiga $= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6=3\sqrt{3}$ cm.
Jumlah jarak titik dalam segitiga sama sisi ke sisi-sisinya sama dengan tinggi segitiga $= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6=3\sqrt{3}$ cm.
9
Kombinatorika
A. Konsep Dasar
- Aturan perkalian dan penjumlahan.
- Permutasi dan kombinasi.
- Prinsip inklusi-eksklusi.
- Permutasi dengan pengulangan.
- Kombinasi dengan pengulangan.
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Permutasi $n$ objek diambil $r$: $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$.
2. Kombinasi $C(n,r)=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$.
3. Permutasi dengan pengulangan: $\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$.
4. Kombinasi dengan pengulangan: $\binom{n+r-1}{r}$.
5. Prinsip inklusi-eksklusi: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
2. Kombinasi $C(n,r)=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$.
3. Permutasi dengan pengulangan: $\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$.
4. Kombinasi dengan pengulangan: $\binom{n+r-1}{r}$.
5. Prinsip inklusi-eksklusi: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
C. Strategi
- Identifikasi apakah urutan penting (permutasi) atau tidak (kombinasi).
- Pecah menjadi kasus-kasus yang lebih kecil.
- Gunakan komplemen jika lebih mudah.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Kombinasi
Dari 8 titik tidak ada tiga yang segaris. Tentukan banyak segitiga yang dapat dibentuk.
Pembahasan:
Memilih 3 titik dari 8: $\binom{8}{3}=56$.
Memilih 3 titik dari 8: $\binom{8}{3}=56$.
Contoh 2 Permutasi dengan Pengulangan
Berapa banyak susunan huruf dari kata "MATEMATIKA" dengan huruf M pertama dan terakhir?
Pembahasan:
Sisa 8 huruf: A=3, T=2, E=1, I=1, K=1.
Banyak susunan $= \frac{8!}{3!2!}=3360$.
Sisa 8 huruf: A=3, T=2, E=1, I=1, K=1.
Banyak susunan $= \frac{8!}{3!2!}=3360$.
10
Peluang
A. Konsep Dasar
- Ruang sampel, kejadian.
- Peluang klasik: $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$.
- Peluang kejadian majemuk, saling lepas, saling bebas, bersyarat.
- Teorema Bayes.
B. Rumus dan Sifat Penting
1. $P(A^c)=1-P(A)$.
2. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
3. Jika saling lepas: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
4. Jika saling bebas: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
5. Peluang bersyarat: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
2. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
3. Jika saling lepas: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
4. Jika saling bebas: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
5. Peluang bersyarat: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
C. Strategi
- Tentukan ruang sampel dengan hati-hati.
- Gunakan kombinatorika untuk menghitung banyak kejadian.
- Pecah kejadian kompleks menjadi kejadian sederhana.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Peluang Dadu
Dua dadu dilempar. Tentukan peluang muncul jumlah mata dadu 7 atau 11.
Pembahasan:
Jumlah 7: 6 pasangan; jumlah 11: 2 pasangan. Total 8 dari 36.
Peluang $=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$.
Jumlah 7: 6 pasangan; jumlah 11: 2 pasangan. Total 8 dari 36.
Peluang $=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$.
Contoh 2 Peluang Bersyarat
Dalam kotak ada 4 bola merah dan 6 biru. Diambil dua bola tanpa pengembalian. Tentukan peluang bola kedua merah jika bola pertama biru.
Pembahasan:
Setelah ambil biru, tersisa 4 merah, 5 biru, total 9.
Peluang bola kedua merah $=\frac{4}{9}$.
Setelah ambil biru, tersisa 4 merah, 5 biru, total 9.
Peluang bola kedua merah $=\frac{4}{9}$.
11
Statistika
A. Konsep Dasar
- Ukuran pemusatan: mean, median, modus.
- Ukuran penyebaran: jangkauan, kuartil, varians, simpangan baku.
- Penyajian data: tabel, diagram.
- Distribusi frekuensi.
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Mean: $\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$.
2. Median: nilai tengah data terurut.
3. Modus: nilai paling sering muncul.
4. Varians: $s^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}$ (populasi) atau $\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$ (sampel).
5. Kuartil: $Q_1$, $Q_2=$median, $Q_3$.
2. Median: nilai tengah data terurut.
3. Modus: nilai paling sering muncul.
4. Varians: $s^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}$ (populasi) atau $\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$ (sampel).
5. Kuartil: $Q_1$, $Q_2=$median, $Q_3$.
C. Strategi
- Urutkan data untuk mencari median dan kuartil.
- Gunakan tabel frekuensi untuk perhitungan mean.
- Perhatikan apakah data populasi atau sampel.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Median dan Jangkauan
Data: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15. Tentukan median dan jangkauan.
Pembahasan:
Median = data ke-4 = 8. Jangkauan = 15β4=11.
Median = data ke-4 = 8. Jangkauan = 15β4=11.
Contoh 2 Rata-rata Gabungan
Rata-rata 25 siswa adalah 72. Jika rata-rata 15 siswa pertama 70, tentukan rata-rata 10 siswa sisanya.
Pembahasan:
Total 25 = 1800. Total 15 = 1050. Total 10 = 750.
Rata-rata = 750/10 = 75.
Total 25 = 1800. Total 15 = 1050. Total 10 = 750.
Rata-rata = 750/10 = 75.
12
Kalkulus
A. Konsep Dasar
- Limit fungsi aljabar.
- Turunan dan aplikasi (gradien, laju perubahan, maks/min).
- Integral dasar (untuk olimpiade mungkin tidak terlalu dalam, tapi konsep limit/turunan penting).
B. Rumus dan Sifat Penting
1. Limit: $\lim_{x\to a} f(x)$.
2. Turunan: $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
3. Rumus turunan: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(uv)'=u'v+uv'$, aturan rantai.
4. Titik stasioner: $f'(x)=0$.
5. Uji turunan kedua: $f''(x)>0$ minimum, $f''(x)<0$ maksimum.
2. Turunan: $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
3. Rumus turunan: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(uv)'=u'v+uv'$, aturan rantai.
4. Titik stasioner: $f'(x)=0$.
5. Uji turunan kedua: $f''(x)>0$ minimum, $f''(x)<0$ maksimum.
C. Strategi
- Sederhanakan fungsi sebelum menurunkan.
- Gunakan aturan L'HΓ΄pital untuk limit bentuk tak tentu $\frac00$ atau $\frac\infty\infty$ (jika diperbolehkan).
- Untuk masalah maks/min, turunkan dan cari titik kritis.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Limit
Tentukan $\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$.
Pembahasan:
Faktorkan: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$. Limit = 4.
Faktorkan: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$. Limit = 4.
Contoh 2 Titik Stasioner
Fungsi $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ mencapai minimum lokal pada $x=\cdots$?
Pembahasan:
$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Titik stasioner $x=-1,3$.
$f''(x)=6x-6$. Untuk $x=3$, $f''(3)=12>0$ β minimum lokal.
$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Titik stasioner $x=-1,3$.
$f''(x)=6x-6$. Untuk $x=3$, $f''(3)=12>0$ β minimum lokal.
13
Pemodelan
A. Konsep Dasar
- Menerjemahkan masalah nyata menjadi model matematika.
- Jenis model: linear, kuadrat, eksponensial, sistem persamaan.
- Menentukan variabel, parameter, dan hubungan.
B. Langkah Pemodelan
- Identifikasi variabel bebas dan terikat.
- Tentukan hubungan antar variabel dari informasi soal.
- Susun persamaan/pertidaksamaan.
- Selesaikan model secara matematis.
- Interpretasikan hasil dalam konteks masalah.
C. Strategi
- Baca soal dengan cermat, tandai besaran yang diketahui dan ditanya.
- Gunakan satuan yang konsisten.
- Periksa kewajaran solusi.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Model Linear
Sebuah taksi menetapkan tarif awal Rp7.000 dan tarif per km Rp4.000. Jika total biaya Rp35.000, tentukan jarak tempuh.
Pembahasan:
Model: $y=4000x+7000$.
$35000=4000x+7000\Rightarrow x=7$ km.
Model: $y=4000x+7000$.
$35000=4000x+7000\Rightarrow x=7$ km.
Contoh 2 Model Geometri
Kolam renang persegi panjang panjangnya 2 kali lebarnya. Keliling 60 m. Tentukan luas.
Pembahasan:
Misal lebar $l$, panjang $2l$. $2(l+2l)=60\Rightarrow 6l=60\Rightarrow l=10$.
Panjang 20. Luas = 200 mΒ².
Misal lebar $l$, panjang $2l$. $2(l+2l)=60\Rightarrow 6l=60\Rightarrow l=10$.
Panjang 20. Luas = 200 mΒ².
14
Optimasi
A. Konsep Dasar
- Menentukan nilai maksimum/minimum suatu fungsi objektif dengan kendala.
- Bisa berupa pemrograman linear, optimasi dengan turunan, atau metode ketaksamaan.
- Pada olimpiade, sering menggabungkan turunan atau ketaksamaan.
B. Metode Penyelesaian
- Pemrograman linear: gambar daerah penyelesaian, cari titik pojok, evaluasi fungsi objektif.
- Optimasi dengan turunan: turunkan fungsi, cari titik stasioner.
- Optimasi dengan ketaksamaan: gunakan AM-GM, Cauchy, dll.
C. Strategi
- Tentukan fungsi objektif dan kendala.
- Gunakan metode yang sesuai.
- Periksa apakah solusi berada pada domain yang diizinkan.
D. Contoh Soal
Contoh 1 Optimasi dengan Turunan
Seorang petani memiliki 100 m pagar untuk membuat kandang persegi panjang di samping tembok (tembok tidak perlu dipagar). Tentukan panjang sisi sejajar tembok agar luas maksimum.
Pembahasan:
Misal sisi sejajar tembok $x$, sisi lain $y$. Pagar: $x+2y=100\Rightarrow x=100-2y$.
Luas $L=xy=(100-2y)y=100y-2y^2$.
Turunkan: $L'=100-4y=0\Rightarrow y=25$, $x=50$.
Jadi panjang sisi sejajar tembok 50 m.
Misal sisi sejajar tembok $x$, sisi lain $y$. Pagar: $x+2y=100\Rightarrow x=100-2y$.
Luas $L=xy=(100-2y)y=100y-2y^2$.
Turunkan: $L'=100-4y=0\Rightarrow y=25$, $x=50$.
Jadi panjang sisi sejajar tembok 50 m.
Contoh 2 Optimasi dengan AM-GM
Diketahui $x,y>0$ dan $x+y=6$. Tentukan maksimum dari $xy$.
Pembahasan:
Gunakan AM-GM: $xy \le (\frac{x+y}{2})^2 = 9$. Tercapai saat $x=y=3$.
Gunakan AM-GM: $xy \le (\frac{x+y}{2})^2 = 9$. Tercapai saat $x=y=3$.
15
Problem Solving Nonrutin
A. Konsep Dasar
- Menggabungkan beberapa konsep matematika untuk menyelesaikan masalah yang tidak standar.
- Memerlukan kreativitas, pola pikir lateral, dan penguasaan lintas topik.
- Sering muncul sebagai soal tantangan olimpiade.
B. Strategi Umum
- Baca dan pahami masalah secara menyeluruh.
- Identifikasi konsep-konsep yang relevan.
- Coba pendekatan dari berbagai sudut.
- Gunakan kasus kecil untuk menemukan pola.
- Periksa kembali solusi.
C. Contoh Soal
Contoh 1 Integrasi Konsep
Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika keliling segitiga 24 cm, tentukan luasnya.
Pembahasan:
Misal sisi $a-d, a, a+d$ dengan $a>d>0$. Karena siku-siku, berlaku $(a-d)^2+a^2=(a+d)^2$.
Sederhanakan: $a^2-2ad+d^2+a^2=a^2+2ad+d^2\Rightarrow a^2=4ad\Rightarrow a=4d$.
Sisi menjadi $3d,4d,5d$. Keliling $12d=24\Rightarrow d=2$.
Sisi $6,8,10$. Luas $=\frac12\cdot6\cdot8=24$ cmΒ².
Misal sisi $a-d, a, a+d$ dengan $a>d>0$. Karena siku-siku, berlaku $(a-d)^2+a^2=(a+d)^2$.
Sederhanakan: $a^2-2ad+d^2+a^2=a^2+2ad+d^2\Rightarrow a^2=4ad\Rightarrow a=4d$.
Sisi menjadi $3d,4d,5d$. Keliling $12d=24\Rightarrow d=2$.
Sisi $6,8,10$. Luas $=\frac12\cdot6\cdot8=24$ cmΒ².
Contoh 2 Kombinasi & Peluang
Dari angka 1,2,3,4,5 akan disusun bilangan 4 digit berbeda. Jika dipilih secara acak, tentukan peluang bilangan habis dibagi 3.
Pembahasan:
Total bilangan $= P(5,4)=120$.
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah digitnya kelipatan 3. Kombinasi 4 angka dari 5: (1,2,4,5) jumlah 12, memenuhi.
Banyak susunan $= 4! = 24$.
Peluang $= \frac{24}{120}=\frac15$.
Total bilangan $= P(5,4)=120$.
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah digitnya kelipatan 3. Kombinasi 4 angka dari 5: (1,2,4,5) jumlah 12, memenuhi.
Banyak susunan $= 4! = 24$.
Peluang $= \frac{24}{120}=\frac15$.